En este post veremos y explicaremos las principales reglas de derivación con ejemplos claros y bien desarrollados. Antes aclararemos que la notación con apostrofe significa derivada de la función. Por ejemplo, si f(x) es una función, f(x)’.

Derivada de una constante (cualquier número)

La derivada de cualquier número es cero.

(c)′ = 0   

✅ Ejemplo: (7)′ = 0

🔹 Potencia

(xⁿ)′ = n⋅xⁿ⁻¹  

Como vemos, el exponente baja adelante de la x y la multiplica. El exponente de la x se disminuye en una unidad.

✅ Ejemplo: (x⁵)′ = 5x⁴    

🔹 Constante por función

La derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

(c⋅f(x))′ = c⋅f′(x)

✅ Ejemplo: (3x⁴)′ = 4.3x³ = 12x³     

🔹 Suma y resta

La derivada de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las derivadas de las funciones independientes.

(f(x)±g(x))′ = f ′(x) ± g′(x)

✅ Ejemplo: (x³+2x)′ = 3x²+2

🔹 Regla del producto

Cuando tenemos un producto de dos funciones. La derivada es, la derivada de la primer función por la segunda función sin derivar más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función.

(f(x)⋅g(x))′ = f ′(x) . g(x) + f(x) . g′(x)    

✅ Ejemplo: 
(x² . sin⁡x)′ = 2x . sin⁡x + x² . cos⁡x    

🔹 Regla del cociente

Cuando tenemos un cociente de dos funciones. La derivada es, la derivada de la p función del numerador por la función del denominador sin derivar menos la función numerador sin derivar por la derivada de la función denominador. Luego esta expresión se divide por el cuadrado de la función del denominador.

(f(x) : g(x))′ = [f ′(x) . g(x) − f(x) . g′(x)] / (g(x))²​

✅ Ejemplo:
(x² / ex)′ = [2x . ex − x² . e] / (ex)²​

🔹 Regla de la cadena

Esta regla consiste en derivar de afuera hacia adentro. Muy importante cuando tenemos una función dentro o contenida en otra.

(f(g(x)))′ = f ′(g(x)) ⋅ g′(x)

✅ Ejemplo:
(sin⁡(3x))′ = cos⁡(3x)⋅3

Como se observa, primero se derivo el seno (sin) y luego el 3x. Entre ambas se usa la multiplicación. Quedando coseno de 3x por 3.

✨ Resumen en tabla