Dada una función f(x), la derivada de una función en un punto «a» se define como:
Observemos el siguiente gráfico para entender mejor la fórmula.
¿Qué representa esta fórmula?
-
f(a+h): valor de la función un poquito más allá del punto a (en este caso a la derecha)
-
f(a+h)−f(a): cuánto cambió la función
-
h: cuánto se movió en el eje x
-
Todo el cociente: es el promedio de cambio
-
El límite: cuando ese cambio en x se hace infinitamente pequeño, nos da el cambio instantáneo
Derivada por definición: paso a paso
Vamos a ver cómo se usa la definición para calcular derivadas.
✅ Ejemplo 1:
Sea la función f(x) = x2, calculemos f′(x) usando la definición.
Paso 1: Aplicar la definición
Aquí como se ve reemplazamos a f(x) por nuestra función (x2). y (x+h) obviamente debe estar también elevado al cuadrado.
Paso 2: Desarrollar el cuadrado
Simplificamos
Aplicamos el límite
2x + h = 2x
Por lo tanto, la derivada de esta función es:
f´ (x) = 2x (El símbolo de derivada de una función es f´ (x))
Ejemplo 2:
Sea f(x) = 3x+1, calculemos f′(x).
Aplicamos la definición:
Por lo tanto, la derivada de f(x) = 3x+1 es f′(x) = 3.
Ejemplo 3: Derivada en un punto
Cuando nos preguntan que valor debe tomar la derivada de una función en un punto determinado de x solo debemos derivar dicha función. Y después reemplazar en «x» de la función derivada el valor en cuestión, Después calculamos la derivada hasta obtener el valor numérico.
Dada f(x) = x2, calculemos la derivada en el punto x=2.
Entonces, la derivada de f(x) = x2 en x = 2 es f′(2) = 4.
Derivada — Wikipedia (español)
Derivative — Wolfram MathWorld
Explorá más contenidos de Matemática en Química y Algo Más
