Teorema del seno y coseno. Ejercicios resueltos.

Los triángulos oblicuángulos son aquellos que no tienen ningún ángulo interior de 90° a diferencia de los triángulos rectángulos.

Resolver un triángulo oblicuángulo implica hallar a todos los lados y ángulos interiores que nos pidan. Las fórmulas que se usan para esto difieren de las usadas para resolver a los triángulos rectángulos, como lo hemos visto en otro artículo.

Teorema del Seno:

Establece la relación que hay entre cada lado y el seno del ángulo opuesto a dicho lado, y estas tres relaciones, a su vez, son iguales entre si. En el siguiente gráfico lo vemos bien.

teorema del seno

 

Con estas relaciones podemos calcular lados o ángulos que falten. De estos tres miembros obviamente usaremos solo a dos, dependiendo de cuales sean los datos de los que disponemos.

A veces no nos alcanza con el Teorema del Seno para resolver problemas, por no adecuarse al problema que tenemos y debemos usar el Teorema del Coseno. Las fórmulas figuran a continuación.

 

teorema del coseno 2

 

Como vemos son muy parecidas, solo que cambian el orden de los lados y el ángulo que se forma con esos lados. Por ejemplo en la primera, empieza con el lado a, entonces el ángulo que figura al final es el opuesto, el A. Los otros dos lados a su vez, son los que forman el ángulo A. De la misma manera usamos el razonamiento para las otras dos fórmulas.

Veamos algunos ejemplos.

1) Calcula los lados y el ángulo que falta en el siguiente triángulo oblicuángulo.

teorema del seno

 

Como vemos, podemos empezar calculando el lado b o el c, utilizando el teorema del seno. Para el lado b tenemos:

b/sen75°   =   a/sen40°

b = (a/sen40°) x sen 75°

b = (12/sen40°) x sen 75°

b = 12/0.643 x 0.966

b = 18

Para calcular el lado c hacemos:

c / sen C = 12 / sen 40°

El ángulo C es fácil de calcular ya que tenemos a los otros dos. Sabiendo que la suma de los tres nos da 180°:

C = 180° – 40° – 75°

C = 65°

c = (12 / sen 40°)  x sen 65°

c = (12/0,643) x 0,906

c = 16.91

2) Calcula el lado y los ángulos que faltan del siguiente triángulo oblicuángulo.

teorema coseno

Como vemos aquí, no se puede utilizar el teorema del seno ya que siempre nos faltara un dato. Tendremos una ecuación con dos incógnitas y eso no lo podremos resolver. Por ejemplo, tenemos el lado c pero no su ángulo opuesto (C) o tenemos el ángulo (B) pero no su lado b. Lo mismo pasa con la relación (A) y a, falta el ángulo. Entonces en este caso, el teorema del coseno es el indicado ya que lo puede resolver.

Para hallar el lado b procedemos así:

b² = a² + c² – 2.a.c.cosB

b² = 1200² + 700² – 2.1200.700. cos 108°

b² = 1440000 + 490000 – 1680000.-0.309

b² = 1930000 + 519120

b² = 2449120

b = 1565 metros

Ahora podemos sacar el ángulo A o el C. Para el ángulo A hacemos:

a² = b² + c² – 2.b.c. cosA

1200² = 1565² + 700² – 2.700.1565.cosA

1440000 = 2449225 + 490000 – 2191000 cosA

-1499225 = – 2191000 cosA

cosA = -1499225/-2191000

cosA = 0.684

Ahora usamos la función inversa para obtener el ángulo deseado.

A = arc cos 0.684

A = 46° 49´19″

Para calcular el ángulo C solo le restamos a 180° el valor de los otros dos. Recordemos que la suma de los tres ángulos interiores de todo triángulo da 180°

C = 180° – 108° – 46° 49´19″

C = 25° 10´41″

Aquí te dejamos el video explicativo del tema con ejercicios resueltos.

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Bioquímico Patricio Arroyo

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57 comentarios en “Teorema del seno y coseno. Ejercicios resueltos.

  1. Creo Que Hay Un Error Al Sumar 2449225+490000 El Resultado Que Pusiste Es=1499225 Y Me Canso De Hacerlo Sumando Y Restando Pero No Me dio Lo Mismo Sumandolo Me Dio =2.939.225 Y Restando Me Dio =1.959.225 ¿Cual El Problema?

    1. Si hay un angulo de 90° usa pitágoras o las funciones comunes de seno y coseno no los teoremas de seno y coseno porque se trata de un triángulo rectángulo no oblicuángulo

  2. Gracias, me sirvió mucho de ayuda el teorema del coseno por que yo sólo tarde horas con diferentes fórmulas y ninguno funcionó hasta que busque y encontré la fórmula para resolver el lado C gracias

    1. No esta incorrecto. Hay solo alguna pequeña diferencia en decimales. Si los lectores ven lo hacen de otra manera. En trigonometría la mayoría de las veces existen más de un camino para resolver los problemas.

  3. Muy buena la pagina pero hay operaciones que no comprendo todavía
    quisiera saber en el ejercicio del seno que operación se hace para quede 0.643 y 0.966 y luego 18 te agradecería que me contestaras en este momento es de carácter urgente. Gracias

  4. Disculpen, me podrían ayudar dándome un ejemplo de la ley del coseno aplicado a la mecánica, lo que pasa es que no encuentro nada en la web, relacionado con mi tema

  5. muy bueno agradecida con esto le explico a mi hijo, si el internet hubiera existido cuando yo estudie a lo mejor con esto no hubiera tenido tanto problemas con el calculo en la universidad, pero insistí y me gradué.

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