Polinomios. Suma, Resta, Producto y Cociente.

Antes de definir a los polinomios necesitamos definir a los monomios. Los monomios son estructuras muy sencillas, ya que están formadas por una pieza compuesta por un número, una letra (parte literal) o ambas. A su vez, la letra esta elevada a un exponente de uno o mayor de uno. Ejemplos:

2 X² ;  3  ;  8 X³ ; X   etc.

Cuando consideramos a dos monomios juntos lo llamamos binomios. Si hay 3 partes o monomios se denominan trinomios. En general a partir de 3 monomios se los llama polinomios.

Binomio:  3 X ²   +   9

Trinomio:  X²  +  10 X  +  25

Llamamos grado de un polinomio al máximo exponente al que esta elevado una letra. En el primer caso vemos que el binomio es de grado 2 y en el caso del trinomio vemos que es de grado 3. Los números que están adelante de las letras son los coeficientes. Aclaramos que generalmente la letra mas utilizada es la X aunque el alumno podrá ver en otros artículos de otros autores letras distintas. Pero los conceptos son exactamente los mismos.

A continuación veremos operaciones con polinomios y monomios. Volvamos a los monomios. Los monomios están sujetos a las operaciones básicas. Se pueden sumar, restar multiplicar o dividir. Con respecto a la suma y resta solo la podemos hacer cuando estos sean semejantes. Es decir, que tengan la misma parte literal. Por ejemplo:

2 X ² + 5 X ²  =  7 X ²

pero si tenemos:

4 X ³  +  6 X^5  no podremos juntarlos, ya que uno esta elevado al cubo y el otro a la quinta. En este caso el resultado queda exactamente igual.

Cuando se multiplican, el producto resultante será por un lado, el de los números y por otro el de las letras. Por ejemplo:

3 X ²  .  4 X³  =  12 . X ^5  (doce x a la quinta).

Recordemos que la propiedad del producto de potencias de igual base (X) dice que los exponentes deben sumarse y en el cociente deben restarse. Aquí si sumamos 2 + 3 obviamente nos da 5.

12 X ^8  :  6 X ^5  = 6 X ^3

Los Polinomios al igual que los números y los monomios, están sujetos también a las mismas operaciones básicas como Suma, Resta, Multiplicación y División.

Suma y Resta: Cuando tenemos que sumar o restar dos o mas polinomios, primero es bueno ordenarlos para que queden encolumnados los monomios integrantes que tengan la misma parte literal con el mismo exponente. Ya que como dijimos anteriormente, no se puede juntar monomios de distinta parte literal.

Ejemplo:

P(x) = 2 X³  +  X²  +  X

G(x) = 5 X³  +  3 X ²  +  8

Vemos que podemos juntar los que están elevados al cubo por un lado, los que están elevados al cuadrado por otro y la X y el 8 no son compatibles. Entonces no se sumaran y quedaran iguales al final de la suma en el nuevo polinomio que se genere.

P(x) + G(x) = 7 X ³  +  4 X ²  +  X  +  8

En la resta procedemos de la misma manera, nada mas que restamos en lugar de sumar.

Multiplicación: El producto de dos polinomios dará otro polinomio. En este caso se aplica entre ellos la propiedad distributiva. El producto de todos contra todos sin importar que tengan distinta parte literal. Ejemplo:

P(x) = 5 X ²  +  3 X  +  4                  G(x) = 2 X  +  5

(5 X ²  +  3 X  +  4)    .      (2 X  +  5)  =  10 X ³  +  25 X²  +  6 X ²  + 15 X  +  8 X  + 20

División de Polinomios: La división es la operación más complicada y veremos a continuación algunos ejemlos explicados en detalle:

Division de polinomios 2Antes de comenzar el proceso, ordenamos a los términos del dividendo de mayor a menor en orden decreciente de potencias. Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor, o sea, 2 X³  :   X²  obteniendo 2 X. Este es el primer término del cociente. Después a este 2 X lo multiplicamos por todos los términos del divisor, por los tres términos. Los resultados los colocamos por debajo del dividendo de acuerdo a su misma parte literal. Por ejemplo, al multiplicar 2 X por X² obtenemos 2 X³ y lo ponemos debajo del otro 2 X³. Lo mismo pasa con 4 X² y con 2 X. Al colocarlos debajo del dividendo los restamos. Es decir, aparece una resta de dos polinomios. El polinomio dividendo menos el polinomio nuevo obtenido. Es normal que se cancelen los primeros términos, en este caso, los 2 X³, de esta manera el nuevo polinomio generado es – 9 X²  +  X  +  2. A partir de aquí se reinicia el proceso. Volvemos a dividir el primer término del nuevo polinomio por el primer término del divisor. O sea, – 9 X² :  X² obteniendo -9. Este se multiplica por todos los términos del divisor y obtenemos el nuevo polinomio -9 X²  –  18 X  -9. Lo restamos al anterior y obtenemos – 17 X  –  7. Aquí finaliza la operación división ya que no podemos dividir como antes. Porque el grado del último polinomio es inferior al grado del polinomio divisor. Grado 1 contra grado 2. Los grados de los polinomios obtenidos van bajando. La división se hace hasta cuando los grados son iguales.

Otro ejemplo:

(X ³  +  1)     :    (X  –  2)

Aquí se da otro caso en el que el polinomio dividendo no tiene los exponentes escalonados ya que salta del cubo a un número independiente. En este caso se completan las potencias faltantes con un cero, por ejemplo quedaría:

X ³   +   0 X²  +  0 X   +1

Otros no colocan los ceros, pero dejan el espacio correspondiente como veremos a continuación.

Por eso vemos distanciados al X³  del  1. El resto del proceso es tal cual lo explicamos en el anterior.

 

division de polinomios

Otro caso particular es cuando el divisor tiene la forma  X +/- N°. X mas o menos un número. La X debe estar elevada a la uno. No X² ni X³ ni a otra potencia distinta a 1.

En estos casos se puede hacer la división convencional o aplicar la Regla de Ruffini. En esta regla se ordenan  primero las potencias del dividendo y si es necesario, se completan con ceros. Se trazan dos líneas vertical y horizontal. Debajo en la unión de ellas se coloca el numero independiente del divisor cambiado de signo. Por ejemplo si el diviso es X – 2 se pone el +2. Si es X + 5 se pone -5. Veremos el siguiente ejemplo.

Regla de Ruffini

Vemos como se colocan los números del dividendo ordenados y sin las letras. El número del divisor que es +2 pasa a ser -2 como dijimos anteriormente. El primer término (3) baja como se indica en el gráfico. Después se multiplica a este por -2 obteniendo -6. Este se pone por encima de la línea horizontal y se lo suma con el 12. Obtenemos 6, que se lo multiplica por el -2 dando -12. Se coloca a este debajo del 9 y así sucesivamente. El último número obtenido es cero que es el resto. No siempre dará cero. Si da cero decimos que la división es exacta ya que no sobra absolutamente nada. Los valores 3;  6;  -3;  -6;  son los coeficientes del nuevo polinomio que es el cociente de la división.

Cociente: 3 X³  +  6 X²    -3 X   –  6

Bioquímico Patricio Arroyo

Elquimico

Hola a todos. Mi nombre es Patricio. Mi especialidad es la Química, soy Bioquímico y profesor de materias exactas. Pero también me encantan otros temas de diverso interés, como por ejemplo, todos los relacionados con la salud y el deporte. Espero que en este sitio encuentren lo que están buscando ya que verán gran diversidad de temas. Pueden dejar comentarios e inquietudes. Les mando un saludo grande y los dejo invitados a suscribirse al boletín mensual para que reciban mis nuevos artículos todos los meses.

4 comentarios

  1. Perdone, pero su división de polinomios no es exacta. Le diré por que:
    Al multiplicar -9 por 1 la multiplicación daría lógicamente, -9 ; pero no.
    En todo el ultimo paso se a olvidado cambiar los signos a 18 y 9 (como propia regla indica).

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