Aquí veremos Cómo resolver Identidades Trigonométricas. Las identidades trigonométricas son expresiones distintas a ambos lados del igual, que se deben transformar para que queden exactamente iguales.
Para realizar dichos procedimientos y realizar bien estos ejercicios, debemos conocer algunas reglas básicas que a continuación les daremos.
Principales Identidades Trigonométricas
La suma de los cuadrados de los cosenos y senos de cualquier ángulo siempre da 1.
sen² α + cos² ß = 1
La tangente de un ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno de ese ángulo
Tag α = sen α / cos α
La secante de un ángulo es igual a la inversa del coseno de ese ángulo
Sec α = 1 / cos α
La cosecante de un ángulo es igual a la inversa del seno de dicho ángulo
Cosec α = 1 / sen α
Ejercicios resueltos
Veremos a continuación algunos ejercicios.
1 + Tg² α = Sec² α
A simple vista no tienen nada que ver. Sin embargo, aplicando algunas estrategias o equivalencias lograremos demostrar que son dos expresiones iguales, de eso se trata como dijimos las identidades trigonométricas.
La Tangente (Tg) es igual al cociente entre el seno y el coseno. Por lo tanto:
1 + Sen² α / Cos² α = Sec² α
Ahora sacaremos un común denominador para que el 1 quede en la misma fracción. Sabiendo que el 1 se toma como 1/1. Entre los denominadores 1 y el Cos² α quedara como denominador común el Cos² α.
1/1 + Sen² α / Cos² α = Sec² α
(Cos² α + Sen² α) / Cos² α = Sec² α
1 / Cos² α = Sec² α
Como vimos anteriormente, la inversa del coseno de un ángulo es igual a la secante de dicho ángulo, por lo tanto:
Sec² α = Sec² α
Logrando establecer esta igualdad y quedando resuelta esta identidad trigonométrica.
cosec β . tg β = sec β
La cosecante es igual a la inversa del seno y la tangente es la razón entre el seno y el coseno.
(1/sen β) . (sen β / cos β) = sec β
Los senos se pueden cancelar ya que uno esta en el numerador y otro en el denominador.
(1/sen β) . (sen β / cos β) = sec β
1 / cos β = sec β
La inversa del coseno de β es igual a la secante de β.
sec β = sec β
(sen γ + cos γ)² = 2 tg γ . cos² γ + 1
Aplicamos el cuadrado de binomio en el miembro de la izquierda.
(a + b)² = a² + 2.a.b + b²
A la derecha la tangente la reemplazamos por su igual.
sen² γ + 2.senγ . cosγ + cos² γ = 2.(senγ/cosγ) . cos² γ + 1
Se cancelan dos de los cosenos, quedando uno solo en el numerador. Teniendo en cuenta que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a 1.
1 + 2.senγ . cosγ = 2.senγ . cosγ + 1
La misma expresión a ambos lados del igual. La identidad está resuelta.
Como hemos observado, al momento de ver cómo resolver Identidades Trigonométricas hay mucha variabilidad en los ejercicios de, pero espero que el artículo haya contribuido a aclarar el tema o a iniciarlos bien en el.
Si te interesa profundizar en conceptos y problemas matemáticos, puedes visitar nuestra sección de
Matemática.
Identidades y ecuaciones trigonométricas – Khan Academy
Profesor: Patricio Arroyo
