Identidades Trigonométricas. Ejercicios resueltos.

Las identidades trigonométricas son expresiones distintas a ambos lados del igual, que se deben transformar para que queden exactamente iguales.

Para realizar dichos procedimientos y realizar bien estos ejercicios, debemos conocer algunas reglas básicas que a continuación les daremos.

La suma de los cuadrados de los cosenos y senos de cualquier ángulo siempre da 1.

sen² α  +  cos² ß  =  1

La tangente de un ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno de ese ángulo

Tag α  =  sen α  /  cos α

La secante de un ángulo es igual a la inversa del coseno de ese ángulo

Sec α = 1 / cos α

La cosecante de un ángulo es igual a la inversa del seno de dicho ángulo

Cosec α = 1 / sen α

Veremos a continuación algunos ejercicios.

1 + Tg² α  =  Sec² α

A simple vista no tienen nada que ver. Sin embargo, aplicando algunas estrategias o equivalencias lograremos demostrar que son dos expresiones iguales, de eso se trata como dijimos las identidades trigonométricas.

La Tangente (Tg) es igual al cociente entre el seno y el coseno. Por lo tanto:

1 + Sen² α / Cos² α = Sec² α

Ahora sacaremos un común denominador para que el 1 quede en la misma fracción. Sabiendo que el 1 se toma como 1/1. Entre los denominadores 1 y el Cos² α quedara como denominador común el Cos² α.

1/1 + Sen² α / Cos² α = Sec² α

(Cos² α  +  Sen² α)  /  Cos² α  =  Sec² α

1 / Cos² α  =  Sec² α

Como vimos anteriormente, la inversa del coseno de un ángulo es igual a la secante de dicho ángulo, por lo tanto:

Sec² α = Sec² α

Logrando establecer esta igualdad y quedando resuelta esta identidad trigonométrica.

cosec β . tg β  =  sec β

La cosecante es igual a la inversa del seno y la tangente es la razón entre el seno y el coseno.

(1/sen β) . (sen β / cos β) = sec β

Los senos se pueden cancelar ya que uno esta en el numerador y otro en el denominador.

(1/sen β) . (sen β / cos β) = sec β

1 / cos β  =  sec β

La inversa del coseno de β es igual a la secante de β.

sec β  =  sec β

(sen γ + cos γ)²  =  2 tg γ . cos² γ  +  1

Aplicamos el cuadrado de binomio en el miembro de la izquierda.

(a + b)²  =  a²  +  2.a.b  +  b²

A la derecha la tangente la reemplazamos por su igual.

sen² γ  +  2.senγ . cosγ  +  cos² γ  =  2.(senγ/cosγ) . cos² γ  +  1

Se cancelan dos de los cosenos, quedando uno solo en el numerador. Teniendo en cuenta que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a 1.

1  +  2.senγ . cosγ  =   2.senγ . cosγ  +  1

La misma expresión a ambos lados del igual. La identidad esta resuelta.

Hay mucha variabilidad en los ejercicios de identidades trigonométricas, pero espero que el artículo haya contribuido a aclarar el tema o a iniciarlos bien en el.

identidades-trigonometricas

 

 

 

Bioquímico Patricio Arroyo

Elquimico

Hola a todos. Mi nombre es Patricio. Mi especialidad es la Química, soy Bioquímico y profesor de materias exactas. Pero también me encantan otros temas de diverso interés, como por ejemplo, todos los relacionados con la salud y el deporte. Espero que en este sitio encuentren lo que están buscando ya que verán gran diversidad de temas. Pueden dejar comentarios e inquietudes. Les mando un saludo grande y los dejo invitados a suscribirse al boletín mensual para que reciban mis nuevos artículos todos los meses.

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