Las funciones lineales son una de las bases más importantes del estudio del análisis matemático. Ya que permiten comprender la relación directa entre dos variables. De hecho, suele ser la primera función que se estudia. En este caso, vamos a analizar en detalle a la función:
y = 2x − 3
Como se puede observar, es lineal, ya que la x es de grado 1 o de primer grado.
A continuación, veremos todos los aspectos fundamentales que nos piden en un análisis completo: el origen, el dominio, la imagen, los intervalos de positividad y negatividad, y también los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
🔹 Ordenada al origen
La ordenada al origen es el punto en el cual la recta corta al eje y. Para calcularla, basta con reemplazar x = 0 en la ecuación:
y = 2(0) − 3 y =
Por lo tanto, la recta corta al eje y en el punto (0, -3).
🔹 Cálculo de la raíz
La raíz de las funciones lineales es el valor de x para el cual y = 0. Es decir, el punto en el cual la recta corta al eje x.
Resolviendo la ecuación:
0 = 2x − 3 3 = 2x
Entonces, la raíz es el punto (1.5, 0).
🔹 Dominio de Funciones lineales
El dominio de una función lineal es todo número real, ya que no existen restricciones en los valores de x. En símbolos:
D(f) = R
🔹 Imagen
La imagen también es todo número real, dado que, para cualquier valor de x, la función puede tomar cualquier valor en y. Es decir:
Im(f) = R
🔹 Conjunto de positividad
La función es positiva cuando los valores de y resultan mayores que cero. Es decir:
2x − 3 > 0 2x > 3 ⇒ x >1.5
Por lo tanto, la función es positiva para todos los valores de x > 1.5
🔹 Conjunto de negatividad
En cambio, la función será negativa cuando:
2x−3 < 0 x < 1.5
Por lo tanto, la función es negativa para todos los valores de x < 1.5
🔹 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de Funciones lineales
La pendiente de la función lineal y = 2x − 3 es igual a 2. Tengan en cuenta que:
-
Si la pendiente es positiva, la recta siempre es creciente.
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Si fuera negativa, la recta sería decreciente.
En este caso, como la pendiente m = 2 , la función por lo tanto es:
👉 Creciente en todo su dominio
👉 No presenta intervalos de decrecimiento
En la siguiente imagen puedes ver las características que determinamos en la función lineal y = 2x – 3
📌 Conclusión
La función lineal y = 2x−3 presenta un comportamiento sencillo pero muy ilustrativo para el análisis matemático:
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Ordenada al origen: (0, -3)
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Raíz: (1.5, 0)
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Dominio: todos los reales
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Imagen: todos los reales
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Es positiva para x > 1.5
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Es negativa para x < 1.5
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Es estrictamente creciente en todo su dominio
Fuentes:
- Mathematics LibreTexts – 2.1: Linear Functions (OpenStax Precalculus)
- Cuemath – What is Linear Function? Equation, Graph, Definition
- MathCentre (PDF) – Linear Functions
