Función lineal. Ecuación de la recta

Las función lineal se caracteriza por ser una función de primer grado, es decir, la variable x esta elevada a la uno y no a la dos como las funciones cuadráticas. La representación de estas funciones son rectas. Su forma general es la siguiente.

y = a.x + b     o       y = m.x + b

Es la ecuación general de la recta. La letra «a» o «m» es la pendiente de la recta. El término «b» es la ordenada al orígen. La pendiente es lo que le da a la recta el grado de inclinación con respecto al eje x y la ordenada al orígen es el valor del eje y donde la recta corta a dicho eje.

Veremos un ejemplo.

y = 2.x + 3

Vemos que el 2 es la pendiente. Se interpreta de la siguiente manera. El 2 es un número entero pero como todo entero tiene en su denominador al 1. Entonces a partir de la ordenada al orígen que es el 3 en el eje y, a partir de allí nos movemos 2 unidades en vertical hacia arriba y una unidad hacia la derecha. Se forma un triángulo rectángulo por debajo de la recta. Este representa el grado de inclinación de la recta con respecto al eje x como habíamos mencionado. Los valores de los catetos que son el 2 y el 1 se pueden usar para calcular el ángulo de inclinación de la recta. Se usa para esto la tangente, que es la función trigonométrica adecuada. La tangente de un ángulo es la relación que existe entre el cateto opuesto y el cateto adyacente de un triángulo rectángulo. En nuestro caso:

Tg α = 2/1 = 2

Con la función inversa calculamos el ángulo del triángulo rectángulo formado con los catetos 2 y 1. Este ángulo es el mismo que hay entre la recta y el eje x.

α = 63° 26´6″  ( 6 grados 26 minutos y 6 segundos ).

Es decir que podemos asegurar que la pendiente es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta:

a = Tg α

Para representar cualquier recta necesitamos solamente 2 puntos, que son la ordenada al orígen y la pendiente. Los marcamos en ese orden. Veremos otro ejemplo:

La función es y = 2.x – 1

En este caso marcamos el -1 en el eje y. A partir de allí subiremos 2 unidades hacia arriba, ya que la pendiente es 2. Después 1 unidad hacia la derecha ya que el denominador de la pendiente es 1.  Cabe señalar que si hubiese sido la pendiente -2 tendríamos que haber ido hacia abajo dos unidades y no hacia arriba. Pero luego a la derecha 1 unidad, eso no se altera.

Como se vio, es muy fácil graficar una función lineal.

Ecuación de la recta que pasa por un punto:
A veces nos dan ejercicios en los que dicen que tenemos la pendiente y un punto que pertenece a la recta y que no será necesariamente la ordenada al orígen. La ecuación es:

y – y1 = a.(x – x1)

Ejemplo: Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto (1;2) y tiene como pendiente a = -2

El punto es 1 en x y 2 en y. Siempre en los pares ordenados el primer número indica el valor en x y el segundo en y. Reemplazamos estos valores y el de a en la ecuación anteriormente indicada.

y – 2 = -2.(x – 1)

Observamos que los valores 1 y 2 del par ordenado cambian de signo por el menos de la ecuación. El de la pendiente obviamente se mantiene.

Aplicamos la propiedad distributiva en el miembro derecho.

y – 2 = -2x + 2

Despejamos la y

y = -2x + 2 + 2

y = -2x +4

Con esta forma general de la recta podemos graficarla fácilmente. Marcamos el 4 en el eje y. Nos movemos 2 unidades hacia abajo y una hacia la derecha. Observamos que es una recta con pendiente negativa. Estas tienen la inclinación hacia la izquierda a diferencia de las de pendiente positiva.