Cuando nos piden calcular el dominio de una función, lo que nos están pidiendo es calcular el campo de existencia de esta a lo largo del eje x. Es decir, si para un elemento de x existe su correspondiente en “Y”, dicho elemento de X es parte del dominio. Para aclarar este concepto veremos algunos ejemplos. También veremos el concepto de imagen o codominio que es la existencia de la función a lo largo del eje «Y».

Función lineal:

Aquí observamos que para todo elemento de «X» habrá otro correspondiente en «Y». Más allá de que nos de la impresión de que en el gráfico la recta solo existe en una parte. En realidad el dominio se extiende desde menos infinito hasta mas infinito. Los dominios se leen siempre desde la izquierda hacia la derecha. Lo ponemos en símbolos como:

D = ( – ∞ ; + ∞ )

De la imagen diremos lo mismo. Podemos ver que la función existe desde abajo hacia arriba sin límites. Es decir, desde menos infinito hasta más infinito.

I = ( – ∞ ; + ∞ )

Hay una forma visual de poder calcular el dominio y la imagen. Para calcular el dominio debemos trazar lineas imaginarias y verticales a lo largo de toda la función. Si estas rectas verticales cortan en algún punto a la gráfica de la función, es porque todo ese rango es del dominio.
Para la imagen, trazamos rectas horizontales. Si estas cortan a la gráfica es porque los puntos donde pasan las rectas de corte en Y pertenecen a la imagen.

Función cuadrática:

En las funciones cuadráticas el dominio es como en las lineales. Ya que no existen límites. Las ramas de la parábola se extienden desde el menos infinito hasta el más infinito.

D = ( – ∞ ; +∞ )
Pero es diferente para la imagen. Ya que el límite es el vértice.

En este caso la imagen va desde – 9 (incluido), hasta el más infinito. Las imágenes se leen desde abajo hacia arriba.

I = [ – 9 ; + ∞ )

El corchete va por el – 9 que va incluido. Por debajo del – 9 no hay función, por lo tanto vemos que no hay imagen.

Función logarítmica:

En estas funciones antes de graficar es bueno definir el dominio. Recordemos cuales son las partes de un logaritmo.

El argumento debe ser mayor que 0 (cero), para que exista el logaritmo. Entonces si tenemos por ejemplo la función:

Vemos que el argumento (x-3) deberá ser mayor que 0. Por lo tanto al despejar x nos quedara que x deberá ser mayor que 3.
X – 3 > 0
X > 3

D = ( 3 ; +∞ )
Esto significa que el campo de existencia de nuestra función estará solamente definida después del 3 y nunca lo tocará aunque se acerque mucho a el. Cuando una función se acerca a un valor por arriba o por debajo del eje x, en forma vertical decimos que es una asíntota vertical. En este caso la función tiene una asíntota vertical al eje y en x = 3. Por otra parte observamos que en este caso no hay ordenada al orígen ya que la función no toca al eje Y. Aparte para calcular la ordenada al orígen tenemos que hacer X = 0. Al hacer esto nos quedara el logaritmo de un número negativo, logaritmo de -3. Sabemos que no existen los logaritmos de números negativos.

Con respecto a su imagen observamos que es desde menos infinito a mas infinito en Y.

I = ( –  ∞ ; + ∞ )

Función racional:

En las funciones racionales la X figura en el denominador. Para calcular el dominio en las funciones racionales debemos definir los valores de X que anulan al denominador. Por ejemplo si el denominador es x – 2. El valor x = 2 anulará el denominador. Por lo tanto x = 2 será el valor que no entrara en el dominio. Ya que el denominador no puede ser 0 porque sabemos que no se puede dividir por 0.

En este caso el denominador es x – 1. Por lo tanto x = 1 no será parte del dominio. Esa es la razón por la que habrá en x = 1 una asintota vertical como muestra el gráfico. El dominio será:

D = ( – ∞ ; + 1 ) u ( 1 ; +∞ )

O sea todo el rango de x a excepción de x = 1. Vemos que los paréntesis en 1 indican que este número no es tomado.

Con respecto a la imagen de la función podemos observar la existencia de una asintota horizontal en el mismo eje x. La función se acerca al eje x por izquierda y derecha pero jamás la toca. O sea, es una asintota horizontal. Cabe aclarar que pueden haber asintotas horizontales por encima o por debajo del eje x. En y = – 3  o  en y =+2 por ejemplo. En nuestro caso es en y = 0. Por este motivo la imagen serán todos los valores de Y salvo el y = 0.

I = ( – ∞ ; 0 ) u ( 0 ; +∞ )

Función exponencial:

En estas funciones la x figura en el exponente. Por ejemplo:

En este caso tenemos a la función Y = 2^x. 2 elevado a la x.

El dominio vemos que abarca todo el rango de x sin excepción. Este patrón se ve en todas las funciones exponenciales. La imagen va desde 0 sin incluir hasta el más infinito en este caso. Cabe aclarar que en otros casos las imágenes variarán dependiendo de la función exponencial. Pero el dominio siempre será el mismo.

D = ( – ∞ ; + ∞ )

I  = ( 0 ; +∞ )

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