Análisis completo de una Función Cuadrática

A continuación, haremos un estudio o análisis completo de una función cuadrática como la siguiente.

f(x) = x² − 2x − 8

1. Dominio

Recordemos que el dominio es al campo de existencia de nuestra función en el conjunto de x. El dominio de cualquier función cuadrática está representado por todos los números reales:

D(f) = R = (−∞,+∞)

2. Ordenada al origen

La ordenada al origen es el valor de la función cuando x = 0. Gráficamente es el punto en donde la función corta o intercepta al eje Y. Solo debemos reemplazar a las x por el 0. 

f(0) = 0²  − 2⋅0 − 8 = −8

Ordenada al origen: (0,−8)  →   en x = 0  e   y = -8

3. Raíces o ceros

Son los valores de x para los cuales nuestra función vale 0. Se logra cuando Resolvemos x² − 2x − 8 = 0      usando la fórmula de Bhaskara que ya conocen.

x₁ = 4         x₂ = -2

4. Vértice

El vértice se calcula de la siguiente manera. El valor en x se calcula con la formula:

x_v = −b/2a 

x_v =  -(−2) / 2⋅1   =  1 

Luego tomamos ese valor de x_v = 1 en la formula original polinómica      

y = x² − 2x − 8

y_v = (1)² -2.(1) – 8   =   1 – 2 –  8       y_v = – 9

Vértice: (1,−9) → punto mínimo (porque a>0, la parábola abre hacia arriba)

5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Esto se observará muy bien en el gráfico que está en la última parte. Entre (−∞,1) la función decrece y entre (1,+∞) crece ya que sube hacia la derecha.

• La función es decreciente antes del vértice: x < 1  

• La función es creciente después del vértice: x > 1

Decreciente: (−∞,1), Creciente: (1,+∞)

Entre (−∞,1) la función decrece y entre (1,+∞) crece ya que sube hacia la derecha.

6. Conjunto de valores positivos y negativos

• La función es negativa entre las raíces: (−2,4). Significa que esta hacia abajo del eje x.

• La función es positiva fuera de las raíces: (−∞,−2) ∪ (4,+∞). En estos intervalos la gráfica de la función esta por encima del eje x.

7. Rango o Imagen

Como la parábola se abre hacia arriba, el valor mínimo es y = − 9

R(f) = [−9,+∞).   

La Imagen se observa siempre desde abajo hacia arriba y sobre el eje y. 

8. Representación gráfica

Ahora que ya tenemos el análisis completo de una función cuadrática, solo tenemos que volcar todos los datos en el gráfico. Como se puede observar coinciden todos los puntos que averiguamos.

• Raíces: (−2.0)   y   (4,0)

• Vértice: (1,−9)

• Ordenada al origen: (0,−8)

• La parábola abre hacia arriba

A continuación, verás el gráfico con todos los puntos característicos calculados.

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