Teorema de Tales. Problemas resueltos

Cuando dos rectas transversales son cortadas por dos o más paralelas, se generan entre estas, segmentos proporcionales entre si. Esto es explicado en palabras sencillas el Teorema de Tales.

Sirve para calcular la longitud de dichos segmentos.

Veremos a continuación algunos ejemplos.

1 )  Calcula el valor de los segmentos desconocidos. AB y BC.

tales-2

Como se observa, sobre las líneas rojas quedan determinados segmentos. A la izquierda tenemos los segmentos AB y BC y sobre la derecha los segmentos A´B´ y B´C´.

Según Tales se establece la siguiente relación:

AB/BC  =  A´B´/B´C´

También se puede poner

AB/A´B´ =  BC/B´C´

Ahora reemplazamos de la primera relación los valores asignados para despejar x y luego con ese valor de x determinar los valores de los segmentos desconocidos.

2x – 3 / x + 2  =  5 / 6

(2x – 3) . 6  =  (x + 2) . 5

Aplicamos propiedad distributiva.

12 x – 18 = 5 x + 10

12 x – 5 x = 10 + 18

7 x = 28

x = 28 / 7

x = 4

Ahora al tener el valor de x solo nos queda reemplazar en las expresiones y calcular el valor de los dos segmentos desconocidos.

AB = 2 x – 3

AB = 2 . 4 – 3

AB = 8 – 3

AB = 5 cm

BC = x + 2

BC = 5 + 2

BC = 7 cm

2 )  Calcula los valores de los segmentos que faltan.

tales-1

Aquí observamos que faltan el segmento “x” y el segmento “y”.

Aplicando la relación de Tales tenemos:

12 cm / 30 cm = 7 cm / x

Despejamos al segmento “x”.

x = (7 cm / 12 cm) . 30 cm

x = 17,5 cm

Ahora procedemos a calcular el segmento “y”.

12 cm / 30 cm = 3 cm / y

y = (3 cm / 12 cm) . 30 cm

y =  7,5 cm

3 ) Calcular la altura del edificio teniendo en cuenta los otros valores que son, la altura del árbol, la sombra que proyecta este y la distancia entre el edificio y donde termina la sombra del árbol.

El teorema de Tales sirve para resolver este tipo de ejercicios a los que se considera aplicaciones de Tales.

tales-4

La relación que podemos establecer es la siguiente.

Llamamos x a la altura del edificio. Entonces la altura del edificio es a la altura del árbol como 24 es a 12.

X / 4 mts  =  24 mts / 12 mts

X = (24 mts / 12 mts)  .  4 mts

X = 8 mts

 

Bioquímico Patricio Arroyo

Elquimico

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